[2016년 대진고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} -x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: a+2]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: -1]일 때, [eqn: a]의 값은?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=-2x^3 +ax^2 +bx+3]이 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: -2]를 가질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 값과 극댓값을 [eqn: m]이라고 하자. [eqn: a+b+m]의 값은?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

닫힌 구간 [eqn: [0,```1]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: f(x)=x+2 int_0 ^1 f(t)dt]가 성립할 때, [eqn: f(2)]의 값은?

③

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

정적분을 이용하여
[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {2n} LEFT { LEFT ( {n+1} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {n+2} over {n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {n+3} over {n} RIGHT ) ^{2} + CDOTS + LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
의 값을 구하면?

③

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 7over6]

④ [eqn: 7over3]	⑤ [eqn: 14over3]

함수 [eqn: f(x)= cases{ ax^3 +2x^2 -3&```( x ge -1 ) #x^2 +bx &```(x< -1) }]이고 [eqn: x=-1]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a+b]의 값은?

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +2ax^2 -ax]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 [eqn: g(t)]라고 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 구간 [eqn: (0,```6)]에서 증가할 때, 실수 [eqn: a]값의 범위는?

⑤

① [eqn: a ge 0]	② [eqn: a ge -6]	③ [eqn: a le -6]

④ [eqn: a ge -9]	⑤ [eqn: a le -9]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 각각 [eqn: t^4 -10t^3 +50t^2], [eqn: 14t^2 +kt]라고 하자. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간이 두 번 있을 때 [eqn: k]의 값을 각각 [eqn: k_1], [eqn: k_2]라고 하자. [eqn: k_1 -k_2]의 값은? (단, [eqn: k_1 <k_2]인 실수)

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

반지름의 길이가 [eqn: 50rmcm]인 반구 모양의 용기에 수면의 높이가 매초 [eqn: rm1rmcm]로 일정하게 높아지도록 물을 채우려고 한다. 물을 넣기 시작한 지 [eqn: 20]초가 되는 순간, 수면의 넓이의 변화율은? (단, 단위는 [eqn: rmcm^2 /s]이다.)

③

① [eqn: 40pi]	② [eqn: 50pi]	③ [eqn: 60pi]

④ [eqn: 70pi]	⑤ [eqn: 80pi]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가
[eqn: f`'(x)= cases{ k&```(x ge 2) # x+2& ```(x <2)}]([eqn: k]는 실수)이고 [eqn: f(2)=1]일 때, [eqn: f(5)]의 값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같고, 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(x)=int_1 ^x+2 f(t)dt]가 성립할 때, [eqn: g(x)]의 극댓값을 [eqn: a], 극솟값을 [eqn: b]라 하자. [eqn: 3a+b]의 값은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 14]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 2 int _{0}^2 f(x)dx]의 값은?

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]가

성립한다.

(나) [eqn: int _{-4} ^{2} f(x)dx=20], [eqn: int _{2} ^{4} f(x)dx=4]

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n left{f left( { 2k} over {n }right)-f left( { 2k-2} over {n }right)right} { k} over { n}]의 값은?

(가) [eqn: f(2)=1]

(나) [eqn: int_0 ^2 f(x)dx= { 1} over { 4}]

⑤

① [eqn: 3over4]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 5over6]

④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 원점을 통과한 후 [eqn: t]초가 지났을 때의 속도가 [eqn: v(t)=t ^{2} -5t+4]이다. 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]일 때의 진행방향과 반대방향으로

진행하는 시간은 [eqn: 2]초이다.

ㄴ. [eqn: 2]초 후의 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 2over3]이다.

ㄷ. [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: 3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

계수가 모두 정수인 다항함수 [eqn: f(x)]가 등식
[eqn: f`'(x)left{f`'(x)+2right}=6f(x)+4x ^{2} +14x+39]
를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족한다. [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: n^2]의 값은?

③

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이다.

(나) [eqn: f(1)=2]

(다) [eqn: -1< f`'(1)<4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

곡선 [eqn: y=3x-x^2]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 [eqn: y=ax^2]에 의하여 이등분될 때, [eqn: a+1]의 값은? (단, [eqn: a]는 양수)

②

① [eqn: root {3} of {2} -1]	② [eqn: root {3} of {2}]	③ [eqn: root {3} of {2} +1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: root {3} of {2} +2]

서술형

다음 물음을 읽고 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

(1) [eqn: -4]

(2) [eqn: {27} over {2}]

(1) 함수 [eqn: f(x)=x^3 -5x+4]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(1+4h)-f(1+2h)} over {h }]

의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

(2) 함수 [eqn: f(x)=x^2 -4x+3]에 대하여 [eqn: lim_x->3 { x^3 -27} over {f(x)-f(3) }]의 값을

도함수의 정의를 이용하여 구하는 과정을 자세히

서술하시오.

밑면의 반지름의 길이 [eqn: x]와 높이 [eqn: h]의 합이 [eqn: 10]인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 부피가 [eqn: x=alpha], [eqn: h=beta]에서 최댓값 [eqn: a]를 갖는다고 할 때, 상수 [eqn: { 27} over {200 }times { beta} over {alpha }timesa]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (단, 증감표를 반드시 이용하시오.)

[eqn: 10pi]

다음 조건을 만족하고 [eqn: f(0)=1]인 다항함수 [eqn: f(x)]를 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

[eqn: x ^{2} -2x+1]

[eqn: int_1 ^x (4t+5)f(t)dt=3(x+2)int_1 ^x f(t)dt]

[2016년 대진고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

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